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Les droites remarquables dans un triangle
Vous aimez probablement les triangles. Vous pensez qu'ils sont utiles. Vous allez voir qu'ils vous réservent encore plus de découvertes et d'étonnements que vous ne l'imaginiez !
Centre du cercle circonscrit d'un triangle
Centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle 
Définition d'un cercle avec 3 points
Relation entre l'aire d'un triangle et le rayon de son cercle circonscrit - Démonstration 
Problème : triangles, aires de losanges, et cercles circonscrits Médiatrices
Chacun des côtés d'un triangle a une médiatrice : c'est la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par son milieu. Nous allons démontrer que les médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes et que leur point de concours est à égale distance des sommets du triangle. Nous pourrons alors construire le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
Distance entre un point et une ligne - les droites bissectrices
Bissectrices et centre du cercle inscrit d'un triangle 
Rayon du cercle inscrit, périmètre et aire
Démonstration du théorème de la bissectrice
Exercices sur le théorème de la bissectrice Bissectrices
Chacun des angles d'un triangle a une bissectrice : c'est la demi-droite qui le partage en deux angles égaux. Nous allons démontrer que les bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes (fantastique !) en un point appelé centre du cercle inscrit. Nous démontrerons aussi que ce point est équidistant des côtés du triangle (encore plus fantastique !). Ceci permet de construire un cercle tangent à chacun des côtés du triangle (qui, sans surprise, est appelé le "cercle inscrit").
La définition des médianes
La démonstration des médianes
Propriétés des médianes (vidéo additionnelle)
Les triangles médians
Centre de gravité, un exemple avec des triangles rectangles Médianes
Après les médiatrices des côtés et les bissectrices des angles, vous devez vous demander ce qu'il en est des droites qui joignent un sommet et le milieu du côté opposé. Les voici ! On les appelle les médianes. Nous allons démontrer qu'elles sont concourantes, c'est à dire qu'elles passent toutes par le même point (c'est fort !), et qu'elles partagent le triangle en six mini triangles qui ont tous la même aire (encore plus fort !). Ce n'est pas tout ! Leur point de concours, appelé le centre de gravité, a une propriété remarquable que je vous laisse découvrir...
Démonstration - les hauteurs d'un triangles se coupent en un même point 
Orthocentre et centre de gravité confondusHauteurs
Après les médiatrices des côtés, les bissectrices des angles et les médianes, la seule autre possibilité qui me vient à l'esprit est de mener par chaque sommet une perpendiculaire au côté opposé (les hauteurs). Comme on peut s'y attendre, elles sont concourantes en un point appelé l'orthocentre (Incroyable, non !).